2変数関数の最大値最小値問題〜順像法、逆像法の考え方はこうだ！〜

２変数関数の最大値最小値について、問題を実際に使って解説しようと思います！

途中の発想の過程みたいなものを書いてるので、そこで考え方を身につけてもらえたらなと思います。

問

a,bを実数とする。
以下の４つの不等式を満たす点(x,y)全体からなる領域をＤとする。
x+3y≧a
3x+y≧b
x≧0
y≧0
Ｄにおけるx+yの最小値を求めよ。

解答の前に、、

さて、まず問題の意味を考えましょうか。

｢領域Ｄ内の点(x,y)をx+yに入れたときのx+yの最小値を求めよ｣
砕いて言うと
｢領域Ｄ内の点をx+yに放り込んだときの最小値をだせ｣
ですね。
なら問題の意味に従って

<方針1>（というか頭の中、、）

領域Ｄ内の点を全てｚ=x+yに代入しよう！

……が当然Ｄ内の点は無数にあって何百万年あっても終わらない。。

→じゃあ
・x=0上の点について調べてみよう！
このとき、ｚ=yなので
ｚはｚ≧0、ｚ≧b、ｚ≧a/3を満たす
よってｚの最小値は0かbかa/3だ！

・x=1上の点について調べてみよう！
…
(この考え方を一般化して)
・x=k上の点について調べてみよう。

という流れ。
所謂、順像法とか一文字固定法とか予選決勝法ですね。

さて、もう一回問題に戻りましょうか。
繰り返しますが問題は
｢Ｄ内の点をx+yに放り込んだときの最小値を求めよ｣
方針１は
Ｄ内の点全部放り込めばわかるじゃん
って発想でした。
でも別の見方もできます。
x+yってどんな値になるのかなあ？
って感じです。

<方針2>

x+yってどんな値になるのかなあ？
(x+yの値域をＷとすると)
例えば
・x+y=0ってなりうるかなあ？
x+y=0になりうる(0∈Ｗ)
⇔x+y=0となるような(x,y)がＤの中にある

・x+y=1ってなりうるなかなあ？

x+y=1になりうる(1∈Ｗ)

⇔x+y=1となるような(x,y)がＤの中にある
・・・（一般化して）
・x+y=αってなりうるかなあ？
α∈Ｗ
⇔x+y=αとなるような(x,y)がＤの中にある

って感じです。
所謂、逆像法とか逆手流とかいうやつです。

まあこれでほとんど言いたいことは言ったのですが一応解答を←

解答

方針1
z=x+yとおく。
x=t(t≧0)で固定し、このときのzの最小値をsとすると、
z=y+tであり、yは
3y≧a-u
y≧b-3u
y≧0
を満たす。
今、yz平面においてz=y+tは傾き1の直線を表すので、zが最小となるのはyが最小となるときだから
s=min{0,b-3u,(a-u)/3}
次に、uをu≧0で動かすと
…頑張って場合分け

方針2
x+yの値域をＷとおくと
u∈Ｗ

⇔x+y=uとなる(x,y)がＤの中に存在する…※※

⇔[x+3y≧a かつ 3x+y≧b かつ x≧0 かつ y≧0 かつ x+y=u]となるx,yが存在する

⇔[3u-2x≧a かつ 2x+u≧b かつ x≧0 かつ u-x≧0 かつ y=u-x]となるx,yが存在する

⇔[0≦x≦u かつ (b-u)/2≦x≦(3u-a)/2]となるxが存在する

⇔0≦u かつ b-u≦3u-a かつ 0≦(3u-a)/2 かつ (b-u)/2≦u

⇔0≦u かつ (a+b)/4≦u かつ a/3≦u かつ b/3≦u

よって、x+yの最小値をmとおくと
m=max{0,a/3,b/3,(a+b)/4}
である。
(i)0≧a/3かつ0≧b/3かつ0≧(a+b)/4
すなわち0≧aかつ0≧bのとき
m=0

(ii)0≦a/3またはb/3≦a/3または(a+b)/4≦a/3
すなわち0≦aかつb≦aのとき
m=a/3

(iii)0≦b/3かつa/3≦b/3かつ(a+b)/4≦b/3
すなわちb≦0かつb≦aのとき
m=b/3

(iV)0≦(a+b)/4かつa/3≦(a+b)/4かつb/3≦(a+b)/4
すなわち0≦a+bかつa≦3bかつb≦3aのとき
m=(a+b)/4 ▪️

ちなみに
方針2の※※以下からx+y=uと領域Ｄとの共有点条件を求めにいってもできますが、領域Ｄの形での場合分けを考察するのが大変なので、避けました。
実践的には、共有点条件を頭によぎらないのはまずいですね。
だから
共有点条件でいけるかなあ？
→領域Ｄの場合分けがきつい
→じゃあ式で攻めよう
という発想がグッド！