軌跡、通過領域〜パラメータ消去しろ！は大嘘だ！〜

論理の話をしてきたので、それが活用しやすい分野「軌跡、通過領域」について。

たしか高校だと数学Bでやるやつですね！

まず、最初に言っておきたいことは

「パラメータを消去すれば軌跡が求まる」 というのは嘘です！

意外と信じ込まれがち、、というか学校でそう習うんですかね。

以下、この理由を軌跡、通過領域の説明もかねて書いていきますね。

例を用いて、説明していきます。

問題

｢x=t^2…①、y=t^4…②のとき、点(x,y)の通過領域を求めよ｣

超論外の解答

①を②に代入して y=x^2 これが求める領域である。▪️

よくある論外の解答

①を②に代入して y=x^2 また①よりx≧0 ∴求める領域はy=x^2のx≧0の部分。▪️

さて、なぜ上の解答がダメなのか？の前に、そもそも｢軌跡を求めよ、図示せよ｣とは何なのか？

与えられた式、今の場合x=t^2かつy=t^4の真理集合を求めよ(図示せよ)ということ。

だから、与えられた式よりも条件が緩くなったりしてはいけないわけです。題意の領域より広くなりますからね。

まあ、つまり「軌跡を求めよ」は「同値変形してください」(または必要性と十分性をしっかり示せ)ってことなんです。

だから、先ほどの解答のなにが間違えかもうおわかりですよね？

超論外の方は、 ①②がx、y、tの条件なのにtをガン無視してる、つまり ①②⇒y=x^2 と完全に同値性崩れてますんで×

論外の方は、答えはあってますが、 ①②⇒y=x^2 ①⇒x≧0 よって、①②⇒y=x^2かつx≧0という必要条件での論証になっているんで×

こういう記述すると、「答えがたまたま合ってるにすぎない」ととられる可能性があります。

とりあえず式変形などで｢∴、代入｣などを用いたときは｢⇒｣の意味で取られるんで注意してくださいね。

正しい解答

①かつ② ⇔x=t^2かつy=x^2…③ ③において、tを実数全体で動かすと、x≧0で動くから求める通過領域は y=x^2のx≧0の部分。▪️

このように、「パラメータを残しながら同値変形→最後にtを動かしたときのxがどう動くか調べる」 というのが基本になります。どうしてもtを残しての同値変形がいやなら、∃tで考えましょう

そもそも、軌跡の意味は、｢t=0、1、2、e、π、100、…のときの(x、y)をかき集めたものを求めて下さい｣ってことですから、∃と相性抜群なのは、以前の論理の記事で話したんでおわかりですよね。

だから

∃t、s.t①かつ② ⇔y=x^2かつx≧0

って答案もありですね。

とにかく、｢同値性について気にしてますよ。パラメータを消去すれば軌跡がでる(笑)なんてアホな間違ったことであり、軌跡の意味ちゃんとわかってますよ｣というアピールが重要だと思います。